渐开线齿轮啮合方程推导

computer001

设一对中心距为110的齿轮 齿数比为6：5  则大齿轮的参数方程为：x=60*(cos(t)+t*sin(t)) y=60*(sin(t)-t*cos(t))   根据啮合原理 利用matlab编程   
> syms t q
>> x=60*(cos(t)+t*sin(t))

- \' ?1 y: L0 g9 b& V# Y7 V3 Zx =
$ g$ F& N1 ]2 L3 F) P& n- d9 P( L
/ A, u+ r0 T9 E/ S, q3 `+ t- c60*cos(t) + 60*t*sin(t)
9 c  y+ D1 }4 r
' @! P( E) Q+ G% H5 R" N2 i>> y=60*(sin(t)-t*cos(t))
( n& r* V1 p" i0 @! T& H
y =
5 j' `( r8 ~9 M
60*sin(t) - 60*t*cos(t)

>> x1=-x*cos(11/6*q)-y*sin(11/6*q)+110*cos(q)
) x9 s; Q. ]) @$ i" o, G: i# d
x1 =

110*cos(q) - cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)) - sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t))

1 g+ ~# \0 T  ^$ S>> y1=-x*sin(11/6*q)+y*cos(11/6*q)+110*sin(q)
+ d$ L  e5 y+ N$ Z
y1 =
% K* y% _! u5 S* L0 |  {; p
110*sin(q) + cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)) - sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t))
% W& P9 x3 a" Q
3 J8 X/ e5 j  D5 @$ C>> diff(x1,t)
. O9 [5 \4 ]0 k4 U' s
# L7 M# `+ @2 @( T! A2 N1 Lans =
7 I' Q7 b. G6 q1 T) z) v- _7 ?9 K
- 60*t*cos((11*q)/6)*cos(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*sin(t)
! _% x% x' _; s. Y7 w0 t2 r
4 G) o* W( c* o; ?9 r  c! o>> diff(y1,t)
, D8 f) t/ q$ s0 _2 P' i' y1 E
: K. |3 h2 _/ _; d6 R1 a3 j+ f1 Cans =
( x) ^! O( j5 B: q
, C! P) a; V. {- v2 ?60*t*cos((11*q)/6)*sin(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*cos(t)

>> diff(x1,q)
- F: X5 L" W: C
ans =

! I: H+ o/ ]7 [" t3 p: z) X(11*sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6 - 110*sin(q)

$ U* T: x! F  Q8 Q( a% S>> diff(y1,q)
, j5 o' p% r1 X- a
0 C7 r  L* [4 jans =

- I  M/ r7 J! L6 u4 @110*cos(q) - (11*cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6

  Q' i# ]6 B' r; W>> f1=sym('(110*cos(q) - (11*cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6)*(- 60*t*cos((11*q)/6)*cos(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*sin(t))-((11*sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6 - 110*sin(q))*(60*t*cos((11*q)/6)*sin(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*cos(t))')
+ B" Z. h5 T6 m6 o. {+ }
f1 =
" O3 z1 w% ^) S
% A4 b, h. `( V$ \(60*t*cos((11*q)/6)*cos(t) + 60*t*sin((11*q)/6)*sin(t))*((11*cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - 110*cos(q) + (11*sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6) + (60*t*cos((11*q)/6)*sin(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*cos(t))*(110*sin(q) + (11*cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6 - (11*sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6)

$ h- f2 o# e4 K3 e, U4 ~6 j>> simplify(f1)
: X' t9 Z) E" x) a$ e6 `+ J
ans =

/ s( X/ T' R/ e8 b$ V- }-6600*t*(cos((5*q)/6 - t) - 1)

-6600*t*(cos((5*q)/6 - t) - 1)=0     解得q=6/5*t   代入   x1=-x*cos(11/6*q)-y*sin(11/6*q)+110*cos(q)      
; m8 x; }$ ?, v/ _+ S6 V! H  y1=-x*sin(11/6*q)+y*cos(11/6*q)+110*sin(q)  
) l8 c% }% }2 u2 Y化简后得X1=50*(cos(1.2*t)+1.2*t*sin(1.2*t))    y=50*(sin(1.2*t)-1.2*t*cos(1.2*t))
从方程上可以看出小齿轮的方程仍为渐开线